Nos planos de aula aplicados pude observa as características dos alunos, o desenvolvimento, o relacionamento professor e aluno e vice versa, as tendências metodológicas da docência, a atuação do docente em sala de aula, os conteúdos e objetivos trabalhados em cada aula e a definição do modo de avaliação.

Lecionando a aula que propus tive a intenção de poder aprender a dinâmica de cada aula e cada professor com seus métodos, técnicas e procedimentos docentes, além de presenciar as dificuldades pedagógicas encontradas em cada conteúdo e aula.

Em todo esse tempo como participante no curso de Estágio Supervisionado II pude perceber a influência do professor com seus alunos, e de seus educandos com seus docentes, de como os dois se aprimoram na troca de conhecimentos. Durante este exercício de planejamento percebi a importância desta ação para alcançamos os objetivos idealizados para as aulas, assim podendo preparar-se as diversidades de sala de aula.

Identificação

Tema	Múltiplos e divisores
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévias: Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, esclarecendo que seu desenvolvido ocorrerá a partir de algumas interrogações. Assim, o professor antecipa aos alunos o que será trabalhado durante a aula. Isto é relevante, pois muitos alunos concluem o ensino fundamental sem compreender o cálculo e as aplicações do MDC e do MMC. Este é o principal objetivo desta aula: apresentar uma interpretação geométrica para o máximo divisor comum e para o mínimo múltiplo comum. Desta forma, acredita-se que é possível ampliar o entendimento dos alunos sobre estes conceitos.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Reconhecer os múltiplos e divisores de um número a partir da análise de esquemas gráficos e;

Encontrar os divisores e múltiplos de um número.

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via matemática crítica.

Os procedimentos serão divididos em 5 momentos: o primeiro centrará na prática social inicial. O segundo consiste na problematização. O terceiro é a instrumentalização, já no quarto ocorre à catarse, que se refere à aprendizagem dos alunos e o último é a prática social final, que é a ação voltada para a vida prática dos alunos. Para analisarmos se os objetivos propostos inicialmente foram cumpridos, os alunos irão passar por uma avaliação descrita abaixo. Durante esta atividade o aluno é levado a um processo de exploração, juntamente com a procura da sua explicação e concretização. O estudante será incentivado a buscar conceitos matemáticos que possa ser aplicado no cotidiano, assim aumentando seu processo de criatividade.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 6º ano (Ensino Fundamental)

Recursos necessários:

Quadro, giz ou pincel, papel milimetrado, régua, lápis de cor e textos sobre os conteúdos em pauta.

Obs.: Por praticidade, definiremos a área de cada quadradinho do papel milimetrado como a unidade de área.

Método: A dimensão crítica defendida pelo autor em relação à Educação Matemática Crítica está relacionada com o propósito de enfatizar a importância de uma educação que propicie algo mais que somente informação, mas também capacite cidadãos a se comprometerem com questões culturais, sociais e políticas que envolvem sua realidade. Este desafio demanda um processo de formação no qual o indivíduo seja exposto a situações de aprendizagem que o estimulem a pensar, a questionar, a conhecer o contexto histórico, a incerteza, os diferentes pontos de vista e a estabelecer relações entre o conteúdo apreendido e a realidade na qual está inserido.

No âmbito da Educação Matemática e das aulas de Matemática discussões sobre este papel da escola aparecem pautadas nos domínios da Educação Matemática Crítica, sobre a qual Skovsmose (2001), destaca alguns interesses: (1) preparar os alunos para o exercício consciente da cidadania; (2) estabelecer a matemática como um instrumento para analisar características críticas de relevância social; (3) considerar os interesses dos alunos; (4) considerar conflitos culturais e sociais nos quais a escolaridade se dá; (5) refletir sobre a matemática e seus usos; (6) estimular a comunicação em sala de aula, uma vez que as inter-relações oferecem uma base para a vida democrática.

Para que o processo educativo viabilize o desenvolvimento de competência crítica, ele deve ser entendido tanto pelo professor quanto pelos alunos como um movimento dialógico. Afinal, será por meio do diálogo que o aluno terá possibilidades de reconhecer suas potencialidades, desenvolvendo sua postura crítica.

Introdução: Duração: (5 minutos).

Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, esclarecendo que seu desenvolvido ocorrerá a partir de algumas interrogações. Assim, o professor antecipa aos alunos o que será trabalhado durante a aula. Isto é relevante, pois muitos alunos concluem o ensino fundamental sem compreender o cálculo e as aplicações do MDC e do MMC. Seguindo objetivo desta aula que é apresentar uma interpretação geométrica para o máximo divisor comum e para o mínimo múltiplo comum. Desta forma, acredita-se que é possível ampliar o entendimento dos alunos sobre estes conceitos.

Objetivos: Reconhecer os múltiplos e divisores de um número a partir da análise de esquemas gráficos; Encontrar os divisores e múltiplos de um número.

Conteúdo: Múltiplos e divisores

Procedimentos: Duração: (45 minutos).

(Duração: 5 minutos) - PRÁTICA SOCIAL INICIAL-O professor dialoga com os alunos para conhecer o que eles sabem sobre o conteúdo a ser estudado, isto buscando conhecimento empírico do aluno, ou seja, algo que vivência em seu cotidiano. Por exemplo, como ter noções de áreas de terrenos e divisão e multiplicação de valores.

(Duração: 5 minutos) - PROBLEMATIZAÇÃO - Porque usar múltiplos e divisores? O que sabemos sobre múltiplos e divisores? O que são múltiplos e divisores?

(Duração: 25 minutos) - INSTRUMENTALIZAÇÃO–O professor poderá selecionar alguns textos para leitura em sala de aula, e organizar seu próprio conteúdo. Para isso sugerimos o uso do livro didático.

ATIVIDADE 1

Divisores

Peça aos alunos para desenharem na folha de papel milimetrada todos os retângulos de área 12.

Depois discuta com os alunos os retângulos obtidos (1x12; 2x6; 3x4) e sugira que eles tentem construir um retângulo com um dos lados igual a 5. Provavelmente, eles perceberão a impossibilidade de tal construção.

O importante é fazer com que os alunos percebam que os retângulos construídos possuem medidas que são os divisores de 12.

Faça a mesma atividade utilizando outras medidas, como por exemplo, 15 e 17. Peça para os alunos explicarem as diferenças mais importantes entre as figuras obtidas. E aproveite para apresentar o conceito de números primos.

ATIVIDADE 2

Múltiplos

Professor aproveitando o material utilizado na atividade anterior, peça aos alunos que construam retângulos sempre com a base fixa. Por exemplo, na figura a seguir, fizemos a construção de alguns retângulos de base 5 (rosa) e de base 6 (verde).

Peça aos alunos para fazerem comparações com as figuras anteriores.

Aproveite para mostrar que em algum momento esses retângulos apresentarão a mesma área. E o que significará essa área igual? Peça aos alunos para escreverem o que eles observarem.

(Duração: 5 minutos) - CATARSE – Refere-se à aprendizagem dos alunos. Para saber se aprendeu algo relacionado com o conteúdo: Como forma de registro solicitar uma síntese da aula, das discussões com a turma, o que realmente o estudante pensa sobre o tema abordado, descrevendo: Múltiplos e divisores. Sua opinião sobre a utilidade de Múltiplos e divisores. Como resolveu as situações problema apresentadas durante as aulas.

(Duração: 5 minutos) - PRÁTICA SOCIAL FINAL – AÇÃO DOS ALUNOS NA VIDA PRÁTICA. Momento que refletiremos sobre a utilização do conteúdo no cotidiano: Solicitar que os alunos pesquisem junto aos seus familiares quais os tipos de múltiplos e divisores que eles conhecem. Utilizando múltiplos para estabelece uma ampliação de certa área de terreno e usando divisores realiza uma redução de uma área especifica.

Avaliação: Duração: (10 minutos).

Organizar a turma em grupos de 2 ou 3 alunos para discutirem sobre o que eles observaram durante as atividades. Peça aos grupos para escreverem tudo que eles observaram no decorrer da aula, detalhando os aprendizados e a importância de cada um destes novos saberes.

Conclusão:

Durante esta atividade o aluno é levado a um processo de exploração, juntamente com a procura da sua explicação e concretização. O estudante será incentivado a buscar conceitos matemáticos que possa ser aplicado no cotidiano, assim aumentando seu processo de criatividade.

Referência bibliografia

COMO OBTER O MDC E O MMC SEM FAZER CONTAS? Disponível em: < http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_iicap3.pdf>. Acesso em 28 dez. 2016.

Identificação

Tema	Contar Dinheiro
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévias: Para dar início a esta aula, o professor antecipa aos alunos o que será trabalhado durante a interação procurando saber dos alunos o que eles sabem sobre o assunto e o que mais gostariam de saber: O que sabem sobre o dinheiro? Para que serve o dinheiro? Porque ele foi criado? Sempre existiu dinheiro no mundo? Quais as cédulas que já manusearam ou viram? Que cédulas possuem? O professor anota as informações e dúvidas no quadro.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Refletir sobre o valor do dinheiro e sua utilização;

Reconhecer o dinheiro usado no Brasil e;

Identificar cédulas e moedas de REAL;

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via matemática crítica, compreendida do modo descrito anteriormente.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 6º ano (Ensino Fundamental)

Recursos necessários: Quadro, giz ou pincel, computador, data-show, internet e textos sobre os conteúdos em pauta.

Introdução: Duração: (5 minutos). Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, esclarecendo que seu desenvolvido ocorrerá a partir de algumas interrogações. Assim, o professor antecipa aos alunos o que será trabalhado durante a aula. Procura saber dos alunos o que eles já sabem sobre o assunto e o que mais gostariam de saber: O que sabem sobre o dinheiro? Para que serve o dinheiro? Porque ele foi criado? Sempre existiu dinheiro no mundo? Quais as cédulas que já manusearam ou viram? Que cédulas possuem? O professor anota as informações e dúvidas no quadro.

Objetivos: Contar dinheiro; Refletir sobre o valor do dinheiro e sua utilização; Identificar cédulas e moedas de real.

Conteúdo: Contar dinheiro.

Procedimentos: Duração: (50 minutos).

(Duração: 5 minutos) - PRÁTICA SOCIAL INICIAL - O professor dialoga com os alunos para conhecer o que eles sabem sobre o conteúdo a ser estudado, isto buscando conhecimento empírico do aluno, ou seja, algo que vivência em seu cotidiano. Por exemplo, como fazer compras em lojas, contar dinheiro.

(Duração: 5 minutos) - PROBLEMATIZAÇÃO – Porque foi necessário criar o dinheiro? O que sabemos sobre nosso dinheiro, o Plano Real e outros planos criados pelo governo federal?

(Duração: 30 minutos) - INSTRUMENTALIZAÇÃO – O professor poderá selecionar alguns textos para leitura em sala de aula, e organizar seu próprio conteúdo. Para isso sugerimos os seguintes materiais:

Site do Banco Central que disponibiliza a história da origem do dinheiro: <http://www.bcb.gov.br/?ORIGEMOEDA>

Matéria da Revista Nova Escola que trata da história do dinheiro: <http://revistaescola.abril.com.br/geografia/ fundamentos/inventaramdinheiro498370.

shtml>

Site do Canal Kids que apresenta vários textos envolvendo as seguintes temáticas sobre dinheiro: história do dinheiro, capitalismo, inflação, entre outros. Leitura agradável e

dinâmica, principalmente para crianças: <http://www.canalkids.com.br/bankids/dinheiro.htm>

O professor poderá trabalhar leitura e interpretação de texto a partir destes materiais. Recomenda-se acessar o último material sugerido (Canal Kids) no laboratório de informática.

ATIVIDADE:

Observação: Os alunos deverão trazer antecipadamente para a sala de aula rótulos e embalagens de diferentes tipos de produtos.

Propomos duas dinâmicas:

1) Quanto vale o que você consome.

Dividir os alunos em dois grandes grupos. O grupo escolhe um dos integrantes que será o representante. O professor vai selecionando os produtos e os alunos deverão anotar através de seu representante a hipótese de valor em dinheiro de cada produto. Quem chegar mais próximo ao preço real ganha pontos para seu grupo e demonstra que conhecem o valor dos produtos que consomem. A cada rodada de produtos muda-se o representante.

Todos devem participar.

Ao final da dinâmica o professor abre espaço para discussão, de modo que os alunos percebam o porquê das diferenças de preços em cada produto.

2) Você é o consumidor?

Chegou a hora de comprar os produtos. Para isso os alunos precisarão de dinheiro. O dinheiro poderá ser impresso neste endereço:

<http://www.klickeducacao.com.br/2006/conteudo/popimg/0,6311,POR7165,00.

html>. Caso não haja possibilidade de impressão, os alunos poderão criar o próprio dinheiro, com nome e símbolo s próprios. De posse do dinheiro os a unos deverão ser divididos entre comerciantes e clientes. Os grupos deverão trocar de papel de modo que todos participem da dinâmica. Os comerciantes deverão ter dinheiro para troco, se possíveis moedas. Várias embalagens ou rótulos de produtos, imagens recortadas de revistas de toda espécie de produtos comerciais, inclusive pode-se levar para a sala de aula as revistinhas, jornais e propagandas das grandes redes de comércio, estabelecendo um comércio eletrônico.

Os compradores poderão ter um cartão de crédito, cuja fatura seria realizada em seu caderno, de forma que podem aprender a controlar suas despesas.

Como regra deve ser de comum acordo a quantia que cada consumidor deve possuir para o comércio. Sugerimos cada cidadão tenha um salário mínimo para suas despesas mensais, de forma que aprendam a controlar o que ganham e valorizar o dinheiro que possuem.

(Duração: 5 minutos) - CATARSE – Refere-se à aprendizagem dos alunos. Para saber se aprenderam o conteúdo: Como forma de registro solicitar como "tarefa de casa" uma síntese da aula, das discussões com a turma, o que realmente o estudante pensa sobre o tema abordado, descrevendo: A história do dinheiro. Sua opinião sobre o valor do dinheiro e sua utilização. Reconhecendo o dinheiro usado no Brasil e a sua importância para a sociedade atual. Citando as cédulas e moedas de real que conhece e utiliza em seu cotidiano. Como resolveu as situações problema apresentadas durante as aulas.

(Duração: 5 minutos) - PRÁTICA SOCIAL FINAL – AÇÃO DOS ALUNOS NA VIDA PRÁTICA. Momento que refletiremos sobre a utilização do conteúdo no cotidiano: Solicitar que os alunos pesquisem junto aos seus familiares quais os tipos de moedas eles chegaram a conhecer durante sua história de vida. O que mudou com o Plano Real. Propor a discussão sobre que atitudes todos os cidadãos brasileiros devem assumir diante do dinheiro nacional: como podemos valorizá-lo, que cuidados podem ter com ele, inclusive no seu manuseio, a relação do dinheiro e o consumo consciente, entre outras questões que podem surgir com as discussões na turma.

Avaliação: Duração: (5 minutos) Observar o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, referente as atividades solicitadas, analisar os trabalho executados por cada educando, comparar esse resultado com outros e, ainda, tentar prever o potencial de crescimento de cada estudante. Motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização.

Conclusão:

Referência bibliografia

Portal do Professor. De onde vem o dinheiro. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=7781>. Acesso em 28 dez. 2016.

Identificação

Tema	Inequação do 1º grau
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Compreender inequação do 1º grau e;

Estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado;

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via resolução de problemas.

Os procedimentos serão divididos em 4 etapas: No primeiro, tem-se um problema e sua compreensão. Em segundo urge um plano de como vai ser os procedimentos para resolver este problema. No terceiro passo é dada a execução das estratégias traçadas no plano e por final uma revisão de todo o caminho percorrido.

Para analisarmos se os objetivos propostos inicialmente foram cumpridos, os alunos irão passar por uma avaliação descrita abaixo. Durante esta atividade o aluno é levado a um processo de exploração, juntamente com a procura da sua explicação e concretização.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 7º ano (Ensino Fundamental)

Recursos necessários: Quadro e giz/ pincel.

Materiais: 8 folhas A4.

Método: No contexto da resolução de problemas tenta-se resolver um problema proposto, o discente a partir de seus conhecimentos prévios organizados estratégias para a resolução deste problema, dessa forma, durante esse processo o discente percebe a importância de buscar novas ferramentas ou informações para resolver o problema. Isto instiga a troca de ideias e a significação de informações. Em suma, o objetivo da resolução de problemas consiste em fazer o aluno pensar, desenvolver o raciocínio, ensinar á ele enfrentar situações novas, tornar a aula mais interessante e desafiadora, dar equipamentos para a solução do problema e uma explicação do embasamento matemático. Assim, durante este desenvolvimento há alguns passos.

No primeiro, tem-se um problema e sua compreensão seja de palavras, símbolos ou linguagem. Em segundo urge um plano de como vai ser os procedimento para resolver este problema, ou seja, para atingir a meta alcançada. No terceiro passo é dada a execução das estratégias traçadas no plano e por final uma revisão de todo o caminho percorrido que tem como intuito averiguar a eficácia das estratégias utilizadas, esta etapa na verdade serve para correção de possíveis erros.

Portanto, o professor deve manter o foco para os objetivos que deseja alcançar para que o procedimento e os elementos utilizados sejam suficientes para a busca da solução do problema. E para garantir o desenvolvimento da autonomia frente às situações problemas é preciso que o aluno diante do problema dado, levante hipóteses e as analise de forma que seja enfatizado o conhecimento.

Introdução: Duração: (5 minutos)

Explicarmos o funcionamento da aula, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos.

Objetivos: Compreender inequações do 1º grau; Estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado; Interpretar problemas matemáticos.

Conteúdo: Inequação do 1º grau

Desenvolvimento: Duração: (50 minutos)

Será utilizado para o professor anunciar a situação problema e para resoluções do problema proposto, conforme as etapas.

Situação-Problema:

Carlos trabalha como disc-jóquei (DJ) e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por 20 minutos, para animar uma festa. Seu amigo Daniel na mesma função cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por 20 minutos. É já Max considerando as mesmas condições, cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, mais R$ 45,00 por 10 minutos. Qual o tempo máximo da duração de uma festa em horas, para que a contratação de Daniel não fique mais cara com relação a de Carlos? Já em relação a Max qual vai ser o tempo em horas? É possível que num determinado período de tempo o preço de Max e de Carlos seja o mesmo? Se sim, qual seria este tempo em minutos, e quanto seria o preço a ser pago?

Procedimentos metodológicos:

1ª Etapa:

§ Compreensão do problema

O que é solicitado? A desigualdade de preços e tempos nas contratações dos DJs. Quais são as condições? Carlos cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por 20 minutos, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por 20 minutos. É já Max nas mesmas condições cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, mais R$ 45,00 por 10 minutos. É possível satisfazer as condições e elas são suficientes ou não para determinar a solução? Sim. Faltam dados? Não.

2ª Etapa

· Construção de uma estratégia de resolução

Após a descoberta dos dados e das relações obtidas, o professor volta estimular o estudante a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado, instigando. Esta etapa é o momento do estudante desenvolver um plano para descobrir o melhor percurso (ter encontrado a estimativa dos valores pedidos) e pensar na estratégia para execução do plano. Em seguida, peça aos alunos que façam uma representação dos dados em uma tabela de duas colunas, uma com alunos e outra com as notas. Finalizada a discussão, o novo problema a ser resolvido é: Qual a estimativa de valores a serem pagos e os tempos solicitados?

O professor deve fazer os estudantes refletirem sobre como utilizar os conceitos de inequações já ensinado em sala.

3ª Etapa

· Execução de uma estratégia escolhida

Após o ter o plano em mãos, observaremos as concepções dos alunos frente à demonstração esboçaremos uma reflexão de resolução.

Um sistema de inequação do 1º grau é formado por duas ou mais inequações, cada uma delas tem apenas uma variável sendo que essa deve ser a mesma em todas as outras inequações envolvidas. Quando terminamos a resolução de um sistema de inequações chegamos a um conjunto solução, esse é composto por possíveis valores que x deverá assumir para que exista o sistema.

Para sabemos o tempo máximo de duração de uma festa em horas, para que a contratação de Daniel não fique mais cara em relação ao Carlos. Como o valor de tempo a ser comprado é o mesmo tanto de Carlos como Daniel 20 minutos, passaremos este valor em minutos para horas. Como Carlos cobra R$ 20,00 em 20 minutos, assim usando regra de três simples,

20 ---- 20

x ----- 60 Multiplicando cruzado, temos 20x = 20.60 segue que x = 20.60/20, logo x=60.

Usando o mesmo raciocínio, Daniel cobrará 20x = 60.35, segue que x = 105.

Então Carlos cobra R$ 60,00 por hora e Daniel R$ 105,00 por hora.

Considerando horas como (h), obtemos pelos dados que Daniel não fique mais cara que a de Carlos, logo:

55 + 105h < 100 + 60h, resolvendo a inequação do 1º grau temos;

55 -55 + 105h < 100 + 60h - 55

105h < 45 + 60h

105h - 60h < 45 + 60h -60h

105h - 60h < 45

45h < 45

45/45h < 45/45 segue que h < 1

Portanto a resposta é 1 hora para que a contratação de Daniel não fique mais cara em relação ao Carlos.

Já de Daniel em relação a Max qual vai ser este tempo em horas.

Usando a regra de três simples, Max cobrará 10x = 60.45, segue que x = 270.

Então Max cobra R$ 270,00 por hora.

Considerando horas como (h), obtemos pelos dados que Daniel não fique mais cara que a de Max, logo:

55 + 105h < 30 + 270h, resolvendo a inequação do 1º grau temos;

55 - 55 + 105h < 30 + 270h - 55

105h < - 25 + 270h

105h - 270h < - 25 + 270h - 270h

105h - 270h < - 25

- 165h < - 25 Multiplicando por (-1) temos,

165h > 25

165/165h > 25/165 segue que h > 5/33

Portanto a resposta é 5/33 horas para que a contratação de Daniel não fique mais cara em relação ao Max.

Agora para que num determinado período de tempo o preço de Max e Carlos seja o mesmo, temos que iguala as sentenças como Max cobra 30 + (45 por 10 min.) é o mesmo que 30 + (90 por 20 min.) e Carlos (100 + 20 por 20 min.). Segue que,

30 + 90m = 100 + 20m

30 - 30 + 90m = 100 + 20m - 30

90m = 70 + 20m

90m - 20m = 70 + 20m - 20m

70m = 70 então m = 1, logo passará 20 minutos para que eles cobrem R$ 120,00.

Assim, juntamente com os alunos, chega-se numa forma conceitual de resolver o problema proposto pelo experimento em discussão, usando as formulas e conceitos de média e desvio-padrão como alicerce.

4ª Etapa

· Revisão da solução

O momento de fazer um teste prática, neste caso o professor irá simula os resultados é verificar se resultaria nas solicitações desejadas.

Avaliação: Observar o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, referente às atividades solicitadas, analisar o trabalho executado por um indivíduo, comparar esse resultado com outros e, ainda, tentar prever o potencial de crescimento de cada estudante. Motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização.

Conclusão: Duração: (5 minutos)

Este tempo está destinado, para uma breve revisão do que foi aprendido através do problema, e se foi alcançado tais objetivos.

Referências bibliografia

A resolução de problemas nas aulas de matemática: diagnosticando a prática pedagógica. Disponivel em: < http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/setembro2012/matematica_artigos/artigo_rodrigues_magalhaes.pdf>. Acessado em: 18/03/2016.

Pozo, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas – Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

Identificação

Tema	Coordenadas cartesianas e mapas geográficos
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévias: Para dar início a esta aula, o professor deve esclarecer como se dará seu desenvolvido a partir de algumas interrogações. Em seguida, serão apresentados aos alunos exemplos de uso do plano cartesiano; depois um breve histórico sobre a vida de René Descartes, que poderá ser relatado por você ou pesquisado e posteriormente apresentado pelos alunos.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Desenvolver o conceito de plano cartesiano e;

Conhecer os principais fatos da vida de René Descartes;

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via matemática crítica.

Os procedimentos serão divididos em 5 momentos: A primeira centrará na prática social inicial. A segunda consiste na problematização. A terceira a instrumentalização, o quarto sobre catarse refere-se à aprendizagem dos alunos e o último prática social final que é a ação dos alunos na vida prática. Para analisarmos se os objetivos propostos inicialmente foram cumpridos, os alunos irão passar por uma avaliação descrita abaixo. Durante esta atividade o aluno é levado a um processo de exploração, juntamente com a procura da sua explicação e concretização. O estudante será incentivado a buscar conceitos matemáticos que possa ser aplicado no cotidiano, assim aumentando seu processo de criatividade.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 7º ano (Ensino Fundamental)

Recursos necessários: Laboratório munido de um computador por duplas, internet, data-show, quadro e giz/ pincel e textos sobre os conteúdos em pauta.

Método: referenciado na Educação Matemática Crítica, como sugerido por Skovsmose (2001).

Introdução: Duração: (5 minutos).

Para dar início a esta aula, antecipe aos alunos o que será trabalhado apresentando exemplos de uso do plano cartesiano, depois apresente um breve histórico sobre a vida de René Descartes, que poderá ser relatado por você ou pesquisado e posteriormente apresentado pelos alunos.

Lembre que, diariamente, nos deparamos com gráficos e tabelas quando lermos jornais ou revistas, nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos, nas informações sobre a composição química de remédios e cosméticos com gráficos, tabelas e ilustrações. Os gráficos estão presentes nem vários espaços e sua leitura e interpretação faz-se imprescindível para compreendermos melhor os dados e as estatísticas, muito usados pela mídia.

Objetivos: Desenvolver o conceito de plano cartesiano e; Conhecer os principais fatos da vida de René Descartes.

Conteúdo: Coordenadas cartesianas e mapas geográficos

Procedimentos: Duração: (50 minutos).

(Duração: 5 minutos) - PRÁTICA SOCIAL INICIAL - O professor dialoga com os alunos para conhecer o que eles sabem sobre o conteúdo a ser estudado, isto buscando conhecimento empírico do aluno, ou seja, algo que vivência em seu cotidiano. Por exemplo, deslocamentos em ruas de uma cidade ou jogo batalha naval.

(Duração: 5 minutos) - PROBLEMATIZAÇÃO – Porque usar coordenadas cartesianas e Mapas geográficos? Qual a história das Coordenadas cartesianas? O que é Coordenadas cartesianas?

A base dos gráficos que temos acesso via mídia ou informações contidas em produtos aos quais temos acesso, são baseados no conceito de Plano Cartesiano, estabelecido por René Descartes, vejamos:

Filósofo e matemático francês nascido em 1596, René Descartes, é um personagem de destaque. A importância e representatividade de Descartes foi potencializada após a publicação do "Discurso sobre o Método", em 1637, no qual apresenta sua crença na caracterização do problema do método como garantia para a obtenção da verdade.

Segundo o racionalismo de Descartes, o melhor caminho para a compreensão de um problema é a ordem e a clareza com que processamos nossas reflexões. Um problema sempre será mais bem compreendido se o dividirmos em uma série de pequenos problemas que serão analisados isoladamente do todo. Este fato leva até mesmo nossos dicionários acusarem um substantivo e um adjetivo em referências ao seu nome: cartesianismo e cartesiano.

Descartes utilizou um terceiro capítulo de sua obra para a descrição de um tratado geométrico com os fundamentos daquilo que conhecemos hoje por geometria analítica, realizado com a intenção de ilustrar o alcance do método filosófico para o raciocínio e a busca da verdade.

Em artigo sobre René Descartes, no site Consciência.org, disponível em <http://www.consciencia.org/descartes.shtml>, podemos constar o fato que levou Descartes a finalizar seu tratado.

Descartes relata que viveu uma noite extraordinária no final de 1619. Ele ficava nessa época sozinho em um cômodo aquecido, onde podia se entregar à atividade intelectual. Uma visão extraordinária, um insigth. Numa noite iluminada, teve uma revelação dos fundamentos de uma ciência admirável, de dimensão universal. Descartes resolvera viajar para procurar a verdade no Grande Livro do Mundo. em 1619 sai da Holanda e viaja pela Europa. Estava finalizando o seu Tratado sobre o Mundo e Sobre o Homem q usando lhe veio a notícia da condenação de Galileu por suas teorias científicas....

Descartes tinha um projeto filosófico. Cada vez mais ligado na matemática, queria associar as leis numéricas com as leis do mundo, resgatando a antiga doutrina pitagórica.

Sua principal teoria afirmava-se na eficácia da razão. Queria refletir sobre a questão da autonomia da ciência e objetividade da razão frente ao Deus todo poderoso. As novas teorias científicas contrariavam as Sagradas Escrituras.

Saiba mais em: René Descarte. Disponível em: <http://www.consciencia.org/descartes.shtml>

ATIVIDADE

1. Proponha aos alunos que realizem as atividades propostas:

* Na aula: Localização no plano cartesiano, da Profa Eliane Cândida Pereira da Universidade de São Paulo, disponível em:

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1504>, que utiliza o seguinte recurso. <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/14694/Teia%20Cartesiana.exe>

* No artigo: Localização de pontos no plano cartesiano, da Prof.ª Carla Cristina Escorsin Roque, da Faculdade de Ciências de Wenceslau Braz, disponível em: <http://www.espacodasophia.com.br>.

(Duração: 5 minutos) - CATARSE – Refere-se à aprendizagem dos alunos. Para saber se aprendeu algo relacionado com o conteúdo: Como forma de registro solicitar uma síntese da aula, das discussões com a turma, o que realmente o estudante pensa sobre o tema abordado, descrevendo: Coordenadas cartesianas e mapas geográficos. Sua opinião sobre a utilidade desses planos e mapas.

(Duração: 5 minutos) - PRÁTICA SOCIAL FINAL – AÇÃO DOS ALUNOS NA VIDA PRÁTICA. Momento que refletiremos sobre a utilização do conteúdo no cotidiano: Solicitar que os alunos pesquisem junto aos seus familiares quais os tipos de coordenadas cartesianas que conhecem. Identificar posições em determinada localidade.

Avaliação: Duração: (5 minutos).

Os aspectos a serem avaliados serão a capacidade de comunicação, no sentido em que os alunos deverão comunicar os conceitos, raciocínios e ideias oralmente e por escrito, com clareza e rigor lógico, interpretar textos de matemática relativamente ao vocabulário especifico, assim como, apresentar textos de forma e organizada.

Para avaliar este aspeto, será solicitada aos alunos a entrega de um relatório da atividade num ficheiro Word que no final da aula foi enviado ao professor via e-mail. Daí que o trabalho tenha sido elaborado em grupo, para permitir a comunicação, interação, discussão e argumentação da atividade em desenvolvimento, tornando a aprendizagem mais enriquecedora querem para o aluno quer para o professor.

Conclusão:

Referência bibliografia

Portal do Professor Plano Cartesiano: história e aplicações. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1941>. Acesso em 28 dez. 2016.

Identificação

Tema	Propriedades do Círculo
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévias: Para dar início a esta aula, o professor pode comentar que circunferência e o círculo destacando suas características especiais e sua utilização em várias áreas. Ele deve também explicitar que o objetivo a ser alcançado é:

Compreender a história e as propriedades do círculo;

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via matemática crítica.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: Alunos do 8º ano (Ensino Fundamental)

Recursos e materiais necessários: Quadro, giz ou pincel e textos sobre os conteúdos em pauta. Régua com unidades, compasso, linha de barbante, latas e garrafas de formato cilíndricas.

Método: As atividades da aula serão pautadas nas orientações da Educação Matemática Crítica, sobre a qual Skovsmose (2001) nos elucida.

Introdução: Duração: (2 minutos).

Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, esclarecendo que seu desenvolvido ocorrerá a partir de algumas interrogações. Assim, o professor antecipa aos alunos o que será trabalhado durante a aula comentando que circunferência e o círculo possuem características não comumente encontradas em outras figuras planas. Como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência e o círculo são importantes em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizado nas residências das pessoas.

Objetivos: Compreender a história e as propriedades do círculo.

Conteúdo: Propriedades do Círculo

Procedimentos: Duração: (58 minutos).

(Duração: 3 minutos) - PRÁTICA SOCIAL INICIAL - O professor dialoga com os alunos para conhecer o que eles sabem sobre o conteúdo a ser estudado, isto buscando conhecimento empírico do aluno, ou seja, algo que vivência em seu cotidiano. Por exemplo, bola de esportes, pneus de conduções como bicicleta e roda gigante.

(Duração: 5 minutos) - PROBLEMATIZAÇÃO – Como é dado o descobrimento do círculo? O que sabemos sobre círculo? O que caracteriza uma circunferência, diâmetro, raio, arcos, cordas, retas externa, tangente e secante? O que é o número π é como é dado seu surgimento?

(Duração: 15 minutos) - INSTRUMENTALIZAÇÃO – O professor poderá selecionar alguns textos para leitura em sala de aula, e organizar seu próprio conteúdo. Para isso sugerimos o uso do livro didático e referências aqui pesquisadas como um exemplo à apostila descrita abaixo.

Propriedades do Círculo

Um pouco de história

Quando falamos em circunferência ou círculo, logo nos lembramos de uma roda, uma das maiores invenções do ser humano. Provavelmente inventada a 3500 a.C., na região da Suméria ou Mesopotâmia (apesar de controvérsias entre alguns pesquisadores), a roda tornou o transporte mais fácil e rápido, além de contribuir para transformar as primeiras aglomerações humanas em cidades maiores. Em toda a história da humanidade, até os dias atuais, a roda vem sendo aperfeiçoada e utilizada nos diversos meios de transporte.

Com o seu movimento giratório, a roda tornou-se parte integrante das máquinas que auxiliam o homem a levantar pesos. Foi inventado o guindaste, onde a roda mudou de aspecto, transformando-se em uma roldana, uma roda estriada de como que uma corda pudesse correr dentro dela, dando origem à polia. Os primeiros guindastes foram usados por gregos e romanos para suspender blocos de pedras, e eram formados por traves fortes, chamadas mastros, quase sempre inclinadas. No ponto de encontro fixava-se uma polia. O grande matemático Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.) utilizou polias para fazer catapultas móveis, arremessando pesos sobre os navios dos inimigos romanos que tentavam invadir sua cidade.

Também foi inventada a roda de água ou hidráulica, conhecida entre gregos e romanos, ainda utilizada até hoje no campo. Era provida de caixinhas ou de pequenas pás e servia para transportar a água até os canais de irrigação. Eratóstenes (276 a.C. – 194 a.C.) calculou, pela primeira vez o cálculo exato da circunferência da Terra, através de seu raio (usando a geometria euclidiana).

Em todo progresso da humanidade, a circunferência e o círculo estão sempre presentes. Hoje, a todo o momento, vemos diversos objetos em nossa volta que tenham o formato circular, por exemplo: moedas; tampas de panelas e quaisquer tipos de tampas; botões de TVs, de aparelhos de som, de telefones celulares, de aparelhos de DVDs, entre outros; os próprios DVDs e CDs; rodas de carros, motos e bicicletas; pulseiras, entre muitos outros objetos cilíndricos.

Círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico abaixo, a circunferência é a linha de cor azul escuro que envolve a região rosa, enquanto o círculo é toda a região pintada de rosa reunida com a circunferência.

Propriedades

Circunferência é a região geométrica de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.

Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.

Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência.

Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

EXEMPLOS:

Tangente é uma reta que passa através de exatamente um ponto do círculo.

Secante é uma reta que passa através de dois pontos do círculo.

O número Pi

História do número Pi é objeto de estudo de várias culturas, com pesquisas que apresentam que o fascínio pelo número é anterior a era cristã. Embora o número Pi esteja relacionado ao cálculo da área de um círculo, é difícil imaginarmos que, em civilizações antigas, o estudo tivesse o objetivo de atingir um resultado somente teórico.

Possivelmente, a descoberta do número Pi surgiu em um contexto em que havia a necessidade de calcular a área do círculo de grandes arenas, campos em forma de círculos ou áreas grandes para construções.

O primeiro registro que temos sobre o número Pi refere-se a um papiro, datado de 1700 a.C. Este papiro é chamado de Papiro de Rhind e possui a seguinte frase: a área de um círculo é igual a área de um quadrado, cujo lado é equivalente ao valor do diâmetro de um círculo menos a sua nona parte.

Porém, foi o matemático Arquimedes, em 200 a.C., na antiga Grécia, que conseguiu aproximar a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo do valor que conhecemos hoje, Arquimedes inseriu, dentro da figura de um círculo, várias figuras de polígonos. A partir desta estratégia, ele utilizou o raio do polígono como raio da circunferência. Quanto maior o número de lados do polígono, melhor era a aproximação com o valor real do perímetro da circunferência.

Há registros também de estudos para aproximação do valor de Pi na antiga China, antes mesmo dos estudos dos gregos e dos estudos dos matemáticos da Mesopotâmia.

Com o desenvolvimento das técnicas e tecnologias, vários matemáticos se dedicaram a encontrar quais os números que constituíam o valor de Pi, com a maior precisão possível. A partir da década de 80, com o desenvolvimento de tecnologias cada vez mais avançadas na área da computação, tornou possível que os matemáticos apresentassem até 10 milhões de algarismos após a vírgula para o número Pi. Mesmo com tamanha precisão e dedicação, o algarismo que encerra a sequência ainda é um mistério.

O número Pi é, provavelmente, o número mais famoso nas áreas de estudo da matemática. Mesmo pessoas que não seguiram para a área de estudos das ciências exatas sabem, ao menos, reconhecer o número e a sua representação.

Pi é uma constante matemática. Isto quer dizer que ele é um número que encontramos repetidas vezes em diferentes cálculos, para diferentes aplicações.

Pi representa a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. Este valor é constante, independente dos valores do perímetro da circunferência e do seu diâmetro: sempre será 3,141…. unidades.

Observe que, ao escrevermos o valor no número, finalizamos com reticências. Isto acontece porque o último valor do número Pi ainda não foi definido pelos matemáticos. Este é um dos grandes mistérios deste número e um dos motivos pelos quais ele é tão fascinante.

Entretanto, para facilitar o cálculo em atividades cotidianas, foi estabelecido ser possível trabalhar com o número PI em um valor de 3,14 unidades. O número Pi é representado pela letra grega π. Ou seja, sempre que você visualizar a letra π em algum texto ou fórmula matemática saberá que: π = 3,1415926535……..

Aplicações do π é usada no cálculo de área de circunferência ou de figura que possuem algum círculo em sua composição. Em geometria Euclidiana, podemos encontrar o π no cálculo da área de circunferências, no cálculo da área de esferas e no cálculo do volume das esferas.

Curiosidades sobre o número π, além do fascínio que o número exerce sobre os matemáticos, algumas pessoas se interessam pelo número devido a competições para livros sobre recordes.

Além disto, a própria história da descoberta do número π é fascinante. Tanto que o historiador matemático Abraham Seidenberg dedicou-se, por muitos anos, a realizar pesquisas com o objetivo de mapear o desenvolvimento deste número. O resultado é um livro com mais de 700 páginas, que foi resumido no artigo intitulado "The ritual origin of the circle and sphere" que em português é "A origem ritual do círculo e da esfera".

Quanto a notação, usando a letra grega π, alguns registros indicam para o matemático Euler, foi o primeiro a propor esta notação para representar este número e seus infinitos algarismos.

(Duração: 15 minutos) - CATARSE – Refere-se à aprendizagem dos alunos. Para saber se aprendeu algo relacionado com o conteúdo: Como forma de registro solicitar uma síntese da aula, das discussões com a turma, o que realmente o estudante pensa sobre o tema abordado, descrevendo: Círculo. Sua opinião sobre a utilidade das propriedades do círculo.

(Duração: 20 minutos) - PRÁTICA SOCIAL FINAL – AÇÃO DOS ALUNOS NA VIDA PRÁTICA. Momento que refletiremos sobre a utilização do conteúdo no cotidiano: Propor aos alunos identificar e encontrar o valor aproximado de π, utilizando as medidas de um fundo de lata ou garrafa de formatos cilíndricos, e com o manuseio de pedaços de barbantes. Depois coletar com o barbante o valor da circunferência. Após iram desenha a base do cilindro em uma folha e com a circunferência feita no papel iram procura o centro do mesmo se preciso o professor irá auxiliar nesta busca do centro. Com o centro da circunferência mediram com a régua o valor do diâmetro, daí calcularam a razão entre ambos, com o experimento chegarem ao valor aproximado do π.

Avaliação

Organizar grupos de 2 ou 3 alunos para leirem e após discutirem sobre o que eles observaram e entenderam com a leitura. Avaliar a síntese da leitura e conclusões das discussões com a turma, o que realmente o pensam do tema. Verificar os aprendizados e a importância de cada um destes novos saberes para a vida e para seu conhecimento. Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, referente aos processos solicitados, analisar o trabalho executado por um indivíduo, comparar esse resultado com outros e, ainda, tentar prever o potencial de crescimento de cada estudante.

Conclusão:

Referências bibliográficas

Matemática Essencial: Geometria: Círculo, Circunferência e Arcos. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geomcirc/geomcirc.htm>. Acesso em 02 jan. 2017.

Brasil Escola. Comprimento da circunferência e área de um círculo. Disponível em: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-area-circunferencia.htm>. Acesso em 03 jan. 2017.

Resumo escolar: O número Pi. Disponível em: <https://www.resumoescolar.com.br/matematica/o-numero-pi/>. Acesso em 03 fev. 2017.

. Acesso em 03 fev. 2017.

Identificação

Tema	Áreas e perímetro
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações previam: Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Compreender áreas e perímetro e;

Estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado;

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via resolução de problemas.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 8º ano (Ensino Fundamental)

Recursos necessários: Um computador com o programa de Software Geogebra, data-show, quadro e giz/ pincel.

Materiais: 8 folhas A4.

Método: Lembremos que, no contexto da resolução de problemas tenta-se resolver um problema proposto, o discente a partir de seus conhecimentos prévios organizados estratégias para a resolução deste problema, dessa forma, durante esse processo o discente percebe a importância de buscar novas ferramentas ou informações para resolver o problema. Isto instiga a troca de ideias e a significação de informações. Em suma, o objetivo da resolução de problemas consiste em fazer o aluno pensar, desenvolver o raciocínio, ensinar á ele enfrentar situações novas, tornar a aula mais interessante e desafiadora, dar equipamentos para a solução do problema e uma explicação do embasamento matemático. Assim, durante este desenvolvimento há alguns passos.

Introdução: Duração: (5 minutos)

Para este momento será necessário explicarmos o funcionamento da aula, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos.

Objetivos: Compreender áreas e perímetro; Estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado; Interpretar problemas matemáticos.

Conteúdo: Áreas e perímetro

Desenvolvimento: Duração: (50 minutos)

Neste momento o professor anuncia a situação problema e para resoluções do problema proposto, conforme as etapas da metodologia.

Situação-Problema:

O dono de uma fábrica localizada em Barra do Garças irá instalar cerca elétrica no seu novo estacionamento na de forma de losango com diagonal maior de 80 metros e diagonal menor de 60 metros. Por segurança, pretende, a cada 40 metros no decorrer do perímetro, instalar uma câmera. Sendo assim, quantos metros ele utilizará de cerca elétrica? E quantas câmeras serão necessárias? O Proprietário também quer saber quantos carros irão caber em seu estacionamento. Sabendo que é necessário reservar 25% do espaço para manobras e deslocamentos e em média cada carro ocupa 10 metros quadrados.

Procedimentos metodológicos:

1ª Etapa:

§ Compreensão do problema

O que é solicitado? Quanto será utilizará de cerca elétrica, em metros, quantas câmeras será preciso para cobrir a área desejada e quantos carros caberão no estacionamento. Quais são as condições? Estacionamento que tem forma losango de diagonal maior 80 metros e diagonal menor 60 metros. Também, por motivo de segurança, pretende, a cada 40 metros no perímetro, instalar uma câmera. O Proprietário também quer saber quantos carros irão caber em seu estacionamento, sabendo que são necessário reservar 25% do espaço para manobras e deslocamentos e em média cada carro ocupa 10 metros quadrados. É possível satisfazer as condições e elas são suficientes ou não para determinar a solução? Sim. Faltam dados? Não.

2ª Etapa

· Construção de uma estratégia de resolução

Após a descoberta dos dados e das relações obtidas, o professor volta estimular o estudante a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado, instigando. Esta etapa é o momento do estudante desenvolver um plano para descobrir o melhor percurso (ter encontrado a estimativa dos comprimentos e dimensões pedida) e pensar na estratégia para execução do plano. Em seguida, peça aos alunos que façam uma representação dos dados em uma tabela de duas colunas, uma com alunos e outra com as notas. Finalizada a discussão, o novo problema a ser resolvido é: Quanto ele utilizará de cerca elétrica, em metros? E de câmeras? Quantos carros irão caber em seu estacionamento?

O professor deve fazer os estudantes refletirem sobre como utilizar os conceitos de área e perimento já ensinado em sala.

3ª Etapa

· Execução de uma estratégia escolhida

Após ter o plano em mãos, observaremos as concepções dos alunos frente à demonstração esboçaremos uma reflexão de resolução.

Para calcular o perímetro precisaremos descobrir a medida de um lado. Podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular essa medida. Basta tomar como catetos metade das medidas das diagonais, pois, além de se encontrarem em seus pontos médios, ainda são perpendiculares, o que garante a existência de um triângulo retângulo que possui essas medidas e o lado do losango como hipotenusa. Observe:

l² = 40² + 30²

l² = 1600 + 900

l² = 2500

√l² = √2500

l = 50

Agora basta multiplicar o lado por 4 para obter o perímetro.

P = 4·50

P = 200 metros

Portanto o Proprietário precisará de 200 metros de cerca elétrica em seu estacionamento.

Como ele colocará as câmaras em 40 em 40 metros, então dividiremos o comprimento do perímetro por 40. Então 200/40 = 5. Logo precisará de 5 câmaras.

Para calcular a área de um losango, multiplica-se a diagonal maior (D) pela menor (d) e divide por dois:

A = D*d
2

A = 80*60
2

A = 4800/2
A = 2400 m ².

Agora retirando 25% destinado para manobras e deslocamentos, teremos 1800 m². Como cada carro ocupa 10 m². Só dividir 1800/10 = 180.

Portanto o novo estacionamento terá em média capacidade para 180 carros.

Assim, juntamente com os alunos, chega-se numa forma conceitual de resolver o problema proposto pelo experimento em discussão, usando as formulas e conceitos de áreas e perímetro como alicerce.

4ª Etapa

· Revisão da solução

O momento de fazer um teste prática, neste caso o professor irá utiliza o Software Geogebra em seu computador para concluir de fato se estes valores correspondem à resposta adequada.

Avaliação: Observar o envolvimento dos alunos, de forma individual e coletivamente, acerca das atividades solicitadas, analisando o trabalho executado, comparar esse resultado com outros e, ainda, tentar prever o potencial de crescimento de cada estudante. Motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização.

Conclusão: Duração: (5 minutos)

Este tempo está destinado, para uma breve revisão do que foi aprendido através do problema, e se foi alcançado tais objetivos.

Referências bibliografia

Pozo, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas – Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

Identificação

Tema	Amostragem
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévias: Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos. Uma motivação possível é destacar que, se pudéssemos medir as alturas de todos os brasileiros adultos, teríamos de obter sua distribuição exata e daí produzir os correspondentes parâmetros (média e desvio padrão). Nessa situação não teríamos necessidade de usar a inferência estatística. Raramente se consegue obter a distribuição exata de alguma variável, ou porque isso é muito demorado ou às vezes porque consiste num processo destrutivo.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Compreender os conceitos de amostragem e;

Reconhecer a amostragem probabilística;

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via resolução de problemas e os procedimentos a serem adotados foram descritos anteriormente.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 9º ano (Ensino Fundamental)

Recursos necessários: Quadro, giz ou pincel e textos sobre os conteúdos em pauta.

Método: inspirado na Educação Matemática Crítica, conforme sugerida por Skovsmose (2001).

Introdução: Duração: (5 minutos).

Dando início a aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos. Se pudéssemos medir as alturas de todos os brasileiros adultos, teríamos de obter sua distribuição exata e daí, produzir os correspondentes parâmetros (média e desvio padrão). Nessa situação não teríamos necessidade de usar a inferência estatística. Raramente se consegue obter a distribuição exata de alguma variável, ou porque isso é muito demorado ou às vezes porque consiste num processo destrutivo.

Objetivos: Compreender os conceitos de amostragem; Reconhecer amostragem probabilística.

Conteúdo: Amostragem

Procedimentos: Duração: (45 minutos).

(Duração: 5 minutos) - PRÁTICA SOCIAL INICIAL - O professor dialoga com os alunos para conhecer o que eles sabem sobre o conteúdo a ser estudado, isto buscando conhecimento empírico do aluno, ou seja, algo que vivência em seu cotidiano. Por exemplo, como ter noções de dados estatísticos.

(Duração: 5 minutos) - PROBLEMATIZAÇÃO – Porque usar amostragem? O que sabemos sobre amostragem? O que é amostragem probabilística?

(Duração: 25 minutos) - INSTRUMENTALIZAÇÃO – O professor poderá selecionar alguns textos para leitura em sala de aula, e organizar seu próprio conteúdo. Para isso sugerimos o uso do livro didático no tópico de estatística.

Sugerimos os seguintes links sobre o tema em questão

http://www.somatematica.com.br/estat/basica/pagina2.php

http://www.somatematica.com.br/estat/basica/pagina3.php

Amostragem “é uma técnica e/ou conjunto de procedimentos necessários para descrever e selecionar as amostras, de maneira aleatória ou não, e quando bem utilizado é um fator responsável pela determinação da representatividade da amostra.” (LEONE, Rodrigo. ET AL, 2009)

Quando se deseja colher informações sobre um ou mais aspectos de um grupo grande ou numeroso, verifica-se, muitas vezes, ser praticamente impossível fazer um levantamento do todo. Daí a necessidade de investigar apenas uma parte da população ou universo. O problema da amostragem é, portanto, escolher uma parte (ou amostra), de tal forma que ela seja a mais representativa possível do todo e, a partir dos resultados obtidos, relativos a essa parte, pode inferir, o mais legitimamente possível, os resultados da população total, se esta fosse verificada (pesquisa censitária).

1º. Universo ou população: é o conjunto de seres animados ou inanimados que apresenta pelo menos uma característica em comum.

2º. Amostra: é uma porção ou parcela, convenientemente selecionada do universo (população); é um subconjunto do universo. (MARCONI e LAKATOS, 2002)

Para que todo o esboço da Estatística possa ser feito, temos de ter população. Ao conjunto de seres portadores de, pelo menos, uma propriedade comum chamamos população estatística ou universo estatístico. Uma amostra é o subconjunto finito de uma população e pode ajudar na tarefa do pesquisador, para que ele não precise usar toda a população em sua pesquisa, seus gráficos e suas tabelas. Existe um processo particular para catar amostras, que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. Assim, cada elemento da população passa a ter a mesma oportunidade em ser selecionado, dando à amostra o caráter de representatividade. (COSTA, 2005).

Distinguiremos a amostragem probabilística.

Amostragem probabilística

As técnicas de amostragem probabilísticas, ou aleatórias, ou ao acaso, desenvolveram-se, sob o aspecto teórico, principalmente a partir da década de 30. (MARCONI e LAKATOS, 2002). Ela é “aquela em que cada elemento da população tem uma chance conhecida e diferente de zero de ser selecionado para compor a amostra.” (MATTAR, 2001).

Sua característica primordial é poderem ser submetidas a tratamento estatístico, que permite compensar erros amostrais e outros aspectos relevantes para a representatividade e significância da amostra. (MARCONI e LAKATOS, 2002).

Aleatória simples

Para Yule Kendall, “a escolha de um indivíduo, entre uma população, é ao acaso (aleatória), quando cada membro da população tem a mesma probabilidade de ser escolhido”.

A amostragem aleatória simples é o tipo de amostragem probabilística mais utilizada. Dá exatidão e eficácia à amostragem, além de ser o procedimento mais fácil de ser aplicado – todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de pertencerem à amostra.

Neste tipo de amostra a premissa é de que cada componente da população estudada tem a mesma chance de ser escolhido para compor a amostra e a técnica que garante esta igual probabilidade é a seleção aleatória de indivíduos, por exemplo, através de sorteio.

O processo de amostragem aleatória simples lança mão da tabela de números aleatórios. Essas tabelas forma obtidas por meio de computadores, com complexa programação baseada em cálculos estatísticos, e fornecem uma amostra inteiramente ao acaso de números dispostos em colunas e linhas, por várias páginas.

Sistemática

Segundo BACELAR (1999), a amostragem aleatória sistemática é uma variante da amostragem aleatória simples que se usam quando os elementos da população estão organizados de forma sequencial.

É uma variação de precedente. A população, ou a relação de seus componentes, deve ser ordenada, de forma tal que cada elemento seja identificado, univocamente, pela posição.

Supondo um sistema de indexação por cartões dos componentes de uma empresa, onde cada elemento é representado por um e somente um cartão num total de 1.000, e que se desse uma amostra de 100 elementos, a serem pesquisados acerca da alimentação fornecida no refeitório da organização, escolhe-se aleatoriamente um número entre 1 e 10, por exemplo, o 8. A seguir, podem-se escolher os componentes cujos cartões estejam nas seguintes ordens: 8, 12 , 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98...,988, 998.

Aleatória de múltiplo estágio

Consiste em dois ou mais estágios, com o emprego de amostragem aleatória simples e/ou sistemática em cada um.

Por exemplo, numa pesquisa a sequência da amostragem, para o múltiplo estágio, pode ser: aleatória simples, aleatória simples e aleatória simples ou sistemática. Mas poderia ser em outro caso, aleatória simples, sistemática, aleatória simples; sistemática, aleatória simples, sistemática; ou outra combinação qualquer.

Por área

Uma das formas de variação a amostragem aleatória simples é por área, utilizada quando não se conhece a totalidade dos componentes da população, ou é passível de ser encontrada mais facilmente, por meio de mapas cartográficos ou fotos aéreas, como geralmente ocorre com pesquisas da área rural. Se a apresentação dos mapas já é quadriculada, podem-se tomar os quadrados como unidades; caso contrário, devem ser divididos.

Por grupos ou conglomerados

A amostragem por conglomerados ou grupos é rápida, barata e eficiente, e a unidade de amostragem não é mais o indivíduo, mas um conjunto, facilmente encontrado e identificado, cujos elementos já estão ou podem ser rapidamente cadastrados. O único problema é que os conglomerados raramente são do mesmo tamanho, o que torna difícil ou até mesmo não permite controlar a amplitude da amostra. Recorre-se geralmente a técnicas estatísticas para contornar tal dificuldade.

De vários degraus ou estágios múltiplos.

Este tipo de a amostragem combina as anteriores, em duas, três, quatro ou mais etapas. Na realidade, a amostragem de estágios múltiplos pode ter n de degraus e utilizar, segundo a necessidade, a aleatória simples, a sistemática, por área e por conglomerados, todas estas técnicas ou algumas, e quantas vezes forem necessárias.

De fases múltiplas, multifásica ou em várias etapas.

Tecnicamente difere da anterior, pois o procedimento é diverso. Consiste basicamente no sorteio de uma amostragem bem ampla que é submetida a uma investigação rápida e pouco profunda (primeira fase); o conhecimento obtido nessa fase permite extrair, da amostra mais ampla, uma menor, que será objeto de uma pesquisa aprofundada (segunda fase). (MARCONI e LAKATOS, 2002).

Estratificada

Esta técnica de amostragem usa informação existente sobre a população para que o processo de amostragem seja mais eficiente. A lógica que assiste à estratificação de uma população é a de identificação de grupos que variam muito entre si no que diz respeito ao parâmetro em estudo, mas muito pouco dentro de si, ou seja, cada um é homogêneo e com pouca variabilidade. As três etapas para se definir uma amostra estratificada são: definir os estratos; selecionar os elementos dentro de cada estrato mediante um processo aleatório simples; conjugar os elementos selecionados em cada estrato, que na sua totalidade constituem a amostra. Este método de amostragem estratificada tem a vantagem de ser mais eficiente do que os métodos de amostragem simples ou sistemática, pois é mais econômico em termos de tempo e dinheiro e fornece resultados com menor probabilidade de erro associada. (COUTINHO, 2009).

Amostra-tipo, amostra principal, amostra a priori ou amostra-padrão.

Consiste não em uma diferença técnica em relação as já descritas, mas no uso particular delas, em situação específica. Geralmente as amostras são constituídas para determinado estudo em função dele. Entretanto, principalmente os institutos de pesquisa, que constantemente estão realizando diferentes tipos de estudos, podem ter interesse em constituir uma amostra-tipo, isto é, uma amostra bem ampla, muito mais numerosa do que as utilizadas para pesquisas específicas; nestas, realizar-se-ia o sorteio da amostra da amostra definitiva entre a amostra principal. (MARCONI e LAKATOS, 2002).

(Duração: 5 minutos) - CATARSE – Refere-se à aprendizagem dos alunos. Para saber se aprendeu algo relacionado com o conteúdo: Como forma de registro solicitar uma síntese da aula, das discussões com a turma, o que realmente o estudante pensa sobre o tema abordado, descrevendo: Amostragem. Sua opinião sobre a utilidade de amostragem probabilística.

(Duração: 5 minutos) - PRÁTICA SOCIAL FINAL – AÇÃO DOS ALUNOS NA VIDA PRÁTICA. Momento que refletiremos sobre a utilização do conteúdo no cotidiano: Solicitar que os alunos pesquisem junto aos seus familiares quais os tipos de amostragem que conhecem. Identificar a possível amostragem em uma determinada pesquisa qualitativa.

Avaliação: Duração: (10 minutos).

Organizar a turma em grupos de 2 ou 3 alunos para discutirem sobre o que eles observaram nessas atividades. Peça aos grupos para escreverem tudo que eles observaram no decorrer da aula, detalhando os aprendizados e a importância de cada um destes novos saberes para sua vida e para seu conhecimento.

Conclusão:

Referência bibliografia

EBAH. Amostragem Disponível em: < http://www.ebah.com.br/content/ABAAABNXgAD/amostragem>. Acesso em 02 jan. 2017.

Identificação

Tema	Operações de radicais
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévia: Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Compreender operações de radicais e;

Descobrir a realizações de simplificações de expressões;

Os procedimentos serão divididos em 4 momentos: A primeira centrará no elemento motivação. A segunda e terceira consiste em explicações e exemplos e o último exercícios. Para analisarmos se os objetivos propostos inicialmente foram cumpridos, os alunos irão passar por uma avaliação descrita abaixo. Durante o aluno e levado a entender o processo trabalhado na aula, contendo a prática das atividades.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 9º ano (Ensino Fundamental)

Recursos necessários: Computador com data-show, quadro e giz ou pincel.

Materiais: 8 folhas A4.

Introdução: Duração: (5 minutos).

O professor explicitar o método de trabalho para a aula, os objetivos, os conteúdos e atividades.

Objetivos: Compreender operações de radicais; Descobrir a realizações de simplificações de expressões;

Conteúdo: Operações de radicais.

Procedimentos: Duração total: (55 minutos).

(10 minutos)

Motivação da aula mostrará como resolver uma operação do tipo 2√2 + 2,5√2 não é uma tarefa complicada. De fato, usando o fato de que √2 = √2 , teremos a possibilidade de coloca √2 em evidencia, assim ficaria;

(2 + 2,5) √2

Logo a solução é dada por (2 + 2,5) √2 = 4,5 √2

É a partir desta ideia inicia daremos continuidade como uma motivação para as atividades futuras.

E se tivéssemos que resolver uma expressão 2√2 . 2,5√2 ? Observe que agora não há uma soma entre os termos, impossibilitando o método de solução apresentado anteriormente. A ideia motivacional é justamente tentar modificar a expressão para assim obter a resolução de outros tipos de expressão.

(20 minutos)

RADICAIS SEMELHANTES

Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando

Exemplos de radicais semelhantes

a) 7√5 e 2√5

b) 5³√2 e 4³√2

Exemplos de radicais não semelhantes

a) 5√6 e 2√3

b) 4³√7 e 5√7

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1º CASO: Os radicais não são semelhantes

Devemos proceder do seguinte modo:

a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas)

b) Somar ou subtrair os resultados

Exemplos

1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7

2) √49 √25 = 7 – 5 = 2

3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14

Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica).

2º CASO: Os radicais são semelhantes.

Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica.

Exemplos:

a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2

b) 6³√5 2

³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5

c) 2√7 6√

7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = 3√7

3º CASO: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados.

Exemplos

a) 5√3 + √12 =

5√3 + √2².3 =

5√3 + 2√3 =

7√3

b) √8 + 10√2 √50

√2².√2 +10√2 √5². √2 =

2√2 + 10√2 5√2 =

7√2

(10 minutos)

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice

Efetuamos a operação entre os radicandos.

Exemplos:

a) √5 . √7 = √35

b) 4√2 . 5√3 = 20√6

c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5

d) 15√6 : 3√2 = 5√3

2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice.

Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice.

Exemplos

a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500

b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243

(15 minutos)

EXERCÍCIOS

1) Simplifique os radicais e efetue as operações:

a) √2 + √32= 5√2

b) √27 + √3 = 4√3

c) 3√5 + √20 = 5√5

d) 2√2 + √8 = 4√2

e) √27 + 5√3

2) Efetue as multiplicações e divisões:

a) √2 . √7 = √14

b) ³√5 . ³√10 = ³√50

c) ⁴√6 . ⁴√2 = ⁴√12

d) √15 . √2 = √30

e) ³√7 . ³√4 = ³√28

3) Multiplique os radicais e simplifique o produto obtido:

a) √2 . √18 = 6

b) √32 . √2 = 8

c) ⁵√8 . ⁵√4 = 2

d) ³√49 . ³√7 = 7

Avaliação: Observar o envolvimento dos alunos, de forma individual e coletivamente, acerca dos processos solicitados, analisando o trabalho executado, comparar esse resultado com outros e, ainda, tentar prever o potencial de crescimento de cada estudante. Motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização.

Conclusão:

Durante esta aula o aluno e levado a entender o processo de operações de radicais através de explicações e exemplos, através da prática das atividades.

Referência bibliografia

Blog de Antonio Carlos Carneiro Barroso, Ensino de Matemática Disponível em: <http://ensinodematemtica.blogspot.com.br/2011/05/operacoescomradicais.html>. Acesso em 02 jan. 2017.

Estágio Supervisionado 2

Quem sou eu

sábado, 1 de abril de 2017

Planos de Aula para o 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental

Matemática é fácil: Diferenças, histórias e curiosidades sobre Circunferência e Círculo. Disponível em: <http://www.matematicaefacil.com.br/2015/07/diferencas-historias-curiosidades-circunferencia-circulo.html>. Acesso em 03 fev. 2017.

(Duração: 5 minutos) - PROBLEMATIZAÇÃO – Porque usar amostragem? O que sabemos sobre amostragem? O que é amostragem probabilística?

(10 minutos)

(15 minutos)

Nenhum comentário:

Postar um comentário