Planos de Aula para o Ensino Médio

Nos planos de aula aplicados pude observa as características dos alunos, o desenvolvimento, o relacionamento professor e aluno e vice versa, as tendências metodológicas da docência, a atuação do docente em sala de aula, os conteúdos e objetivos trabalhados em cada aula e a definição do modo de avaliação.Lecionando a aula que propus tive a intenção de poder aprender a dinâmica de cada aula e cada professor com seus métodos, técnicas e procedimentos docentes, além de presenciar as dificuldades pedagógicas encontradas em cada conteúdo e aula.Em todo esse tempo como participante no curso de Estágio Supervisionado II pude perceber a influência do professor com seus alunos, e de seus educandos com seus docentes, de como os dois se aprimoram na troca de conhecimentos. Durante este exercício de planejamento percebi a importância desta ação para alcançamos os objetivos idealizados para as aulas, assim podendo preparar-se as diversidades de sala de aula.

Identificação

Tema	Raízes das funções quadráticas
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

  Considerações prévias: Para dar inicio a esta aula, separamos os alunos em grupos de 2 ou 3 estudantes, a partir daí explicaremos sobre o funcionamento do software Geogebra, depois permitiremos que os alunos o explorem. Neste momento, alguns alunos poderão solicitar bastante o auxilio do professor, pois não estão habituados a realizar este tipo de atividade e, também porque terão algumas dúvidas sobre o software, o que é natural, pois, nunca tinham trabalhado com o Geogebra. Será distribuído os papeis para realizar as atividades.

  Nesta aula, teremos como objetivos particulares:
  Compreender a raízes das funções quadráticas e;
  Descobrir realizações por intermédio de investigações por meio do Geogebra.

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via Tecnologia de Informação e Comunicação.

Os procedimentos serão divididos em 4 momentos: A primeira centrará no elemento motivação. A segunda consiste no elemento de modernização. O terceiro sobre elemento de facilitação e o último dos elementos de mudança. Para analisarmos se os objetivos propostos inicialmente foram cumpridos, os alunos irão passar por uma avaliação descrita abaixo. Durante esta atividade o aluno é levado a um processo de exploração, juntamente com a procura da sua explicação e concretização. 

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 1º ano do ensino médio

Recursos necessários: Laboratório munido de um computador por duplas, internet, data-show, quadro e giz/ pincel.

Materiais: 8 folhas A4.

Método: A utilização TIC na Educação Matemática deve seguir alguns pressupostos que atendam a objetivos concretos de ensino. Segundo Lendo Ramos Brandão (s/d) como, por exemplo:

   Estabelecer relação entre o que é apresentado para estudo e situações reais do cotidiano; Promover realizações de descobertas por intermédio da investigação; Possibilitar situações onde a autonomia seja considerada no processo de ensinar e aprender; Submeter os sujeitos aprendizes à experimentação/simulação para levantamento de conjecturas e hipóteses, auxiliares na construção do conhecimento.

     Professor e aluno tornam-se atores cooperativos e, dessa forma, desenvolvem-se e constroem novos conhecimentos. A relação professor-aluno toma uma dimensão diferente normalmente na sala de aula, o professor é a autoridade e o detentor do conhecimento, pois, em dado momento em que o professor não domina certo conhecimento referente às tecnologias, o aluno, que domina, assim ambos pode se complementar.

Introdução: Duração: (15 minutos).

Para dar inicio a esta aula, separamos os alunos em grupos de 2 ou 3 estudantes, a partir daí explicaremos sobre o funcionamento do software Geogebra, depois permitiremos que os alunos o explorem. Neste momento, alguns alunos poderão solicitar bastante o auxilio do professor, pois não estão habituados a realizar este tipo de atividade e, também porque terão algumas dúvidas sobre o software, o que é natural, pois, nunca tinham trabalhado com o Geogebra. Será distribuído os papeis para realizar as atividades.

Objetivos: Compreender raízes das funções quadráticas e;

Descobrir realizações por intermédio de investigações por meio do Geogebra;

Conteúdo: Raízes das funções quadráticas.

Procedimentos: Duração total: (40 minutos).

(5 minutos) Elemento de motivação para aumentar o interesse dos alunos pelas aulas. Com um primeiro momento trazermos figuras de 3 dimensões, como uma esfera, cônica e etc., e com estas figuras podemos dar-lhes meios para encontrarem curvas que constituem as mesmas.

(5 minutos) Elemento de modernização, por fazer parte dos diversos âmbitos da sociedade. A modernização para a vida do aluno será a apresentação formal do Geogebra, apesar de que o computador já faz parte do cotidiano das pessoas, mas pode ser que este software não está no dia a dia de todos os alunos.

(20 minutos) Elemento de facilitação: para realizar tarefas que podem ser feitas manualmente, como a construção de gráficos, aqui o software facilitará na visualização. Após uma aula expositiva sobre as raízes das funções quadráticas e suas propriedades seguindo-se da resolução de problemas e exercícios para consolidar a matéria, os alunos desenvolveram uma primeira atividade no Geogebra. Que serão distribuídos papéis para as atividades dos grupos, cujo objetivo principal consistiu em explorar o conceito de raízes das funções quadráticas.

    Exemplos das funções quadráticas para que a parti daí possa observar se a função possui raiz, que serão trabalhadas na atividade: f(x)= x²; g(x)= x²+2; h(x)= x²-1; p(x)= x²+x+1; q(x)= 2x²+1; r(x)= -2x² -2;  s (x)= 3x²+3; t(x)= 3x²+2x+4;  u(x)= -4x²+3x-2.

(10 minutos) Elemento de mudança: Com esta atividade pretendeu-se que o aluno compreendesse a importância dos parâmetros a, b e c da função quadrática e, por sua vez, conseguisse estudar o sentido da variação da função e conseguindo relaciona as raízes com as vezes que a função intercepta o eixo x. Assim, os alunos estudaram a influencia de a, b e c na representação gráfica de y= ax²+bx+c, onde trabalharemos. Podendo concluir que o número máximo de raízes reais do polinômio quadrático, ou seja, de grau 2 é 2 raízes.  Se a = 0, a função quadrática se torna uma função afim do tipo y= bx+c. Relativamente ao parâmetro c da função foi possível observar que a sua alteração correspondia à alteração do valor da ordenada quando a abscissa e zero.

Avaliação: Duração: (5 minutos).

Os aspectos a serem avaliados serão a capacidade de comunicação, no sentido em que os alunos deverão comunicar os conceitos, raciocínios e ideias oralmente e por escrito, com clareza e rigor lógico, interpretar textos de matemática relativamente ao vocabulário especifico, assim como, apresentar textos de forma e organizada.

Para avaliar este aspecto, será solicitada aos alunos a entrega de um relatório da atividade num ficheiro Word que no final da aula foi enviado ao professor via e-mail. Daí que o trabalho tenha sido elaborado em grupo, para permitir a comunicação, interação, discussão e argumentação da atividade em desenvolvimento, tornando a aprendizagem mais enriquecedora querem para o aluno quer para o professor.

Conclusão: 

Durante esta atividade o aluno e levado a um processo de exploração juntamente com a procura da sua explicação e concretização da mesma pela elaboração de um relatório final, que enviou ao professor no final da aula.

Referência bibliográfica

CARNEIRO, Reginaldo Fernando.; PASSOS, Cármen L. B. A utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação nas aulas de Matemática: Limites e possibilidades. In: REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO, v. 8, n. 2, p. 101-119, 2014.

Identificação

Tema	Juros Compostos
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévias: Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos. Será distribuída uma folha A4 para cada aluno realizar a atividade.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Compreender juros compostos;

Estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado e;

Interpretar problemas matemáticos

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via resolução de problemas. 

Os procedimentos serão divididos em 4 etapas: No primeiro, tem-se um problema e sua compreensão. Em segundo urge um plano de como vai ser os procedimentos para resolver este problema. No terceiro passo é dada a execução das estratégias traçadas no plano e por final uma revisão de todo o caminho percorrido. Para analisarmos se os objetivos propostos inicialmente foram cumpridos, os alunos irão passar por uma avaliação descrita abaixo. Durante esta atividade o aluno é levado a um processo de exploração, juntamente com a procura da sua explicação e concretização. 

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 1º ano do ensino médio

Recursos necessários: Quadro e giz/ pincel.

Materiais: 8 folhas A4.

Método: No contexto da resolução de problemas tenta-se resolver um problema proposto, o discente a partir de seus conhecimentos prévios organizados estratégias para a resolução deste problema, dessa forma, durante esse processo o discente percebe a importância de buscar novas ferramentas ou informações para resolver o problema. Isto instiga a troca de ideias e a significação de informações. Em suma, o objetivo da resolução de problemas consiste em fazer o aluno pensar, desenvolver o raciocínio, ensinar á ele enfrentar situações novas, tornar a aula mais interessante e desafiadora, dar equipamentos para a solução do problema e uma explicação do embasamento matemático. Assim, durante este desenvolvimento há alguns passos.

No primeiro, tem-se um problema e sua compreensão seja de palavras, símbolos ou linguagem. Em segundo urge um plano de como vai ser os procedimento para resolver este problema, ou seja, para atingir a meta alcançada. No terceiro passo é dada a execução das estratégias traçadas no plano e por final uma revisão de todo o caminho percorrido que tem como intuito averiguar a eficácia das estratégias utilizadas, esta etapa na verdade serve para correção de possíveis erros.                                          

Portanto, o professor deve manter o foco para os objetivos que deseja alcançar para que o procedimento e os elementos utilizados sejam suficientes para a busca da solução do problema. E para garantir o desenvolvimento da autonomia frente às situações problemas é preciso que o aluno diante do problema dado, levante hipóteses e as analise de forma que seja enfatizado o conhecimento.

Introdução: Duração: (8 minutos)

Tempo reservado para o professor explicitar o método da aula, os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos.

Objetivos: Compreender juros compostos; Estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado; Interpretar problemas matemáticos.

Conteúdo: Juros Compostos

Desenvolvimento: Duração: (45 minutos)

 O professor anunciar a situação problema e a resolução do problema proposto, conforme as etapas sugeridas.

Situação-Problema:

O jovem Marx alocado na cidade de Barra do Garças que realizar uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 reais numa determinada agencia bancaria da localidade, durante 5 meses, sabendo que à taxa de juros neste local é de 2% ao mês, contada uma capitalização mensal. Quanto em reais o Marx obterá no fim destes 5 períodos de capitalização?

Procedimentos metodológicos:

1ª Etapa:

Compreensão do problema

 O que é solicitado? Quanto em reais o Marx obterá no fim destes 5 períodos de capitalização. Quais são as condições? Aplicação financeira de R$ 1.000,00 numa determinada agencia bancaria da localidade, durante 5 meses, sabendo que à taxa de juros neste local é de 2% ao mês. É possível satisfazer as condições e elas são suficientes ou não para determinar a solução? Sim. Faltam dados? Não.

2ª Etapa

·         Construção de uma estratégia de resolução

 Após ter os dados corretos através das relações, o professor volta estimular o estudante a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado, instigando. Esta etapa é o momento do estudante desenvolver um plano para descobrir o melhor percurso (O valor em reais do ganho n aplicação) e pensar na estratégia para execução do plano. Finalizada a discussão, o novo problema a ser resolvido é: Qual o valor ganho no primeiro período de capitalização? No Segundo? Terceiro? Quarto? É no Quinto?

O professor deve fazer os estudantes refletirem sobre como utilizar os conceitos de juros compostos já ensinado em sala.

3ª Etapa

·         Execução de uma estratégia escolhida

Após ter o plano em mãos, observaremos as concepções dos alunos frente à demonstração esboçaremos uma reflexão de resolução.

   Juros compostos é a aplicação de juros sobre juros, isto é, os juros compostos são aplicados ao montante de cada período.

Juros compostos são muito utilizados pelo sistema financeiro, pois oferece uma rentabilidade melhor. A taxa de juros é sempre aplicada ao somatório do capital no final de cada mês.

Para entender melhor veja com fica a aplicação mês a mês dos juros:

Primeiro mês: M = C x (1+ i)

Segundo mês: M = C x (1+ i) x (1+i)

Terceiro mês: M = C x (1+ i) x (1+i) x (1+i)

Quarto mês:    M = C x (1+ i) x (1+i) x (1+ i) x (1+i)

Quinto mês:   M = C x (1+ i) x (1+i) x (1+ i) x (1+i) x (1+i)

Para simplificar, obtemos a fórmula a seguir que representa juros compostos:

M = C x (1+ i) ͭ

Onde M é o montante final, i é a taxa de juros aplicada, C é o capital ou valor inicial e t é o tempo total.

O cálculo somente dos juros é obtido pela seguinte fórmula:

J = M - C

Onde J é o juro total, M é o montante que pode ser calculado pela fórmula acima e C é o capital.

Algo importante saber que:

Quando aplicamos esta fórmula devemos ficar atentos aos seguintes:

·         Se a taxa i for ao ano, o tempo t deve ser reduzido à unidade de ano;

·         Se a taxa i for ao mês, o tempo t deve ser reduzido a unidade de mês;

·         Se a taxa i for ao dia, o tempo t deve ser reduzido a unidade de dia;

·         Ambos devem ser escritos em decimal.

Vamos agora observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:

1º período:

100% ⇒ R$ 1.000,00

102% ⇒ M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo paro o período seguinte)

	Capital	Montante
2º período:	R$ 1.020,00 × 1,02	= R$ 1.040,40
3º período:	R$ 1.040,40 × 1,02	= R$ 1.061,21
4º período:	R$ 1.061,21 × 1,02	= R$ 1.082,43
5º período:	R$ 1.082,43 × 1,02	= R$ 1.104,08

Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08.

Assim, juntamente com os alunos, chegaremos a uma forma conceitual de resolver o problema proposto pelo experimento em discussão, usando as formulas e conceitos de juros compostos como alicerce. 

4ª Etapa

·         Revisão da solução

O momento de fazer um teste prática, neste caso o professor juntamente com os alunos irão fazer o cálculo da seguinte forma conceitual, já estudada:

M = R$ 1.000 × 1,02 × 1,02 × 1,02 × 1,02 × 1,02

M = R$ 1.000 × (1,02)

M = R$ 1.000 × 1,10408

M = R$ 1.104,08

Este é o montante em um período de 5 meses. Podemos assim verificar de fato se estes valores correspondentes a resposta adequada.

Avaliação: Observar o envolvimento dos alunos, de forma individual e coletivamente, referente aos processos solicitados, analisando o trabalho executado, comparar esse resultado com outros e, ainda, tentar prever o potencial de crescimento de cada estudante. Motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização.

Conclusão: Duração: (7 minutos)

Este tempo está destinado, para uma breve revisão do que foi aprendido através do problema, e se foi alcançado tais objetivos.

Referência bibliográfica

Matemática Básica Juros Compostos. Disponível em: <http://matematicabasica.net/juroscompostos/>. Acesso em 28 dez. 2016.

Identificação

Tema	Identidades Trigonométricas
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévias: Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Compreender a história e os conceitos das identidades trigonométricas.

Os procedimentos serão divididos em 4 momentos: A primeira centrará no elemento motivação e história. A segunda e terceira consiste em explicações e exemplos e o último exercícios. Para analisarmos se os objetivos propostos inicialmente foram cumpridos, os alunos irão passar por uma avaliação descrita abaixo. Durante esta atividade o aluno é levado a um processo de exploração, juntamente com a procura da sua explicação e concretização. 

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 2º ano do ensino médio

Recursos necessários: Data-show, quadro e giz/ pincel.

Materiais: 8 folhas A4.

Introdução: Duração: (5 minutos).

O professor explicitar o método de trabalho para a aula, os objetivos, os conteúdos e atividades.

Objetivos: Compreender a história e os conceitos das identidades trigonométricas.

Conteúdo: Identidades Trigonométricas.

Procedimentos: Duração total: (50 minutos).

(15 minutos)

Motivação

A trigonometria, como os outros ramos da matemática, não foi obra de um só homem - ou nação. Teorema sobre as razões entre lados de triângulos semelhantes tinham sido conhecidos e usados pelos antigos egípcios e babilônios.

Conceito de medida de ângulo, tal estudo seria melhor chamado “trilaterometria”, ou medida de polígonos de três lados (triláteros), do que “trigonometria”, a medida de partes de um triangulo. Com os gregos pela primeira vez encontramos um estudo sistemático de relações entre ângulos (ou arcos) num circulo e os comprimentos das cordas que os subentendem.

As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritos em círculos, eram conhecidas dos gregos do tempo de Hipócrates, e é provável que Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos para determinar o tamanho da terra e as distâncias relativas do Sol e da Lua. Nas obras de Euclides não há trigonometria no sentido estrito da palavra, mas há teoremas equivalentes a leis ou formas trigonométricas especificas.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um prédio. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

A palavra seno vem de sinus. Sinus é a tradução latina da palavra árabe Jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isto não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, que infelizmente dura até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, seria jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra).

Quanto ao termo tangente, ele tem significado claro, pois tg (x) = t/r, onde t é o segmento da tangente compreendido entre a extremidade do raio (um dos lados do ângulo x) e o prolongamento do outro lado.

A secante do ângulo x é definida pela fórmula sec (x) = s/r, onde s é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos o raio r e o segmento de tangente t. Como o segmento de reta s corta o círculo (secare = cortar, em latim), a denominação secante se justifica.

 Finalmente, cosseno, cotangente e cossecante são simplesmente o seno, a tangente e a secante do arco complementar.

A palavra cateto vem de Kátetos e quer dizer vertical ou perpendicular. A palavra hipotenusa vem de hypoteínousa e significa linha estendida por baixo.

Neste momento passarei um vídeo descrevendo sobre as construções e aplicações da trigonometria, alocado no endereço: <https://www.youtube.com/watch?v=9G3ga_2yAxI>

(20 minutos)

 Chamamos pelo nome de identidades trigonométricas as equações que envolvem funções trigonométricas, desde que sejam verdadeiras para todos os valores das variáveis envolvidas. São utilizadas para simplificar expressões envolvendo funções trigonométricas.

Estas se configuram como igualdades de funções trigonométricas, desde que ambos os lados da igualdade sejam válidos no domínio das funções que são envolvidas.

Um exemplo de identidade trigonométrica são as relações trigonométricas e as relações derivadas.

Identidades trigonométricas fundamentais:

sen²  x + cos² x = 1, ∀x, x  ∈ R

tg x = sen x / cos x , ∀x, x ≠ π/2 + k π

cotg x = cos x / sen x , ∀ x, x ≠ k π

sec x =1 /cos x , ∀x, x ≠ π/2 + k π

cossec x = 1 / sen x , ∀x, x ≠ k π

Exemplo:

Tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x))

A primeira expressão, tg² (x) . (cos (x) – sen (x)), será chamada de f(x), enquanto a segunda sen (x) . (tg (x) – tg² (x)) será chamada de g(x).

f(x) = tg² (x) . (cos (x) – sen (x))

f(x) = tg² (x). cos (x) – tg² (x). sen (x)

A partir disso, podemos substituir a tg² (x) pelo quociente sem² (x) : cos² (x), conforme demonstrado abaixo.

Com a simplificação, chegamos:

Chegamos, finalmente, à: f(x)= sen(x).tg(x)–tg²(x).sen(x) que, quando colocado o termo sen(x) em evidência, fica: f(x)= sen(x).(tg(x)–tg²(x))

Aí, finalmente, chegamos ao que dissemos no início. g(x)= sen(x).(tg(x)–tg²(x)) e, portanto, podemos concluir que f(x)= g(x).

Com isso, chegamos à conclusão de que a identidade, neste caso, é verdadeira.

 (15 minutos) 

EXERCÍCIOS

1) Simplifique a expressão sen(x) cos ² (x) − sen(x)

Resposta:

Usando a identidade Pitagórica sen ² (x) + cos ² (x) = 1:

sen(x) [1 − sen ² (x)] − sen(x) = sen(x) − sen ³ (x) − sen(x) = −sen ³ (x)

2) Dado sen x = 3/5 e π/2 < x < 3π/2, calcule cos x, tg x, sec x, cossec x e cotg x.

RESPOSTA:

Sabendo que

sen ² x + cos ² x = 1 ⇒  cos ² x = 1 – sen ² x ⇒  cos ² x = 1 – (3/5) ² ⇒  cos ²  x = 1 – 9/25 ⇒  cos ² x =  16/25 ⇒  cos x =  ±4/5

Como π/2 < x < 3π/2, temos que cos x < 0

Logo, cos x = –4/5

tg x = sen x / cos x = 3/5 . (–5/4) = –3/4

cotg x = cos x / sen x = (− 4/5) . 5/3 =  −4/3

sec x = 1/cos x =1 . –(5/4) =  − 5/4

cossec x = 1 / sen x = 1.  5/3 = 5/3

3) (FUVEST—SP) A expressão cos² θ  / 1 – sen θ, com sen  θ ≠ 1, é igual a:

a) sen θ    b) sen θ + 1   c) tg θ . cos θ   d)1   e) sen θ / sec θ

RESPOSTA:

cos² θ  / 1 – sen θ = 1 - sen² θ  / 1 – sen θ = (1 - sen θ). (1 + sen θ)  / 1 – sen θ = 1 + sen θ

(5 minutos) 

Avaliação: Observar o envolvimento dos alunos, de forma individual e coletivamente, acerca das atividades solicitadas, analisando o trabalho executado, comparar esse resultado com outros e, ainda, tentar prever o potencial de crescimento de cada estudante. Motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização.

Conclusão: 

Durante esta aula o aluno e levado a entender o processo de operações de radicais através de explicações, exemplos e das práticas das atividades.

Referências bibliográficas

CARNEIRO, Reginaldo Fernando.; PASSOS, Cármen L. B. A utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação nas aulas de Matemática: Limites e possibilidades. In: REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO, v. 8, n. 2, p. 101-119, 2014.

Portal do Professor Construindo o círculo trigonométrico no software GeoGebra. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55278>. Acesso em 28 dez. 2016.

Identificação

Tema	Raiz de um polinômio
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

  

Considerações prévias: Para dar inicio a esta aula, separamos os alunos em grupos de 2 ou 3 estudantes, a partir daí explicaremos sobre o funcionamento do software Geogebra, depois permitiremos que os alunos o explorem. Neste momento, alguns alunos poderão solicitar bastante o auxilio do professor, pois não estão habituados a realizar este tipo de atividade e, também porque terão algumas dúvidas sobre o software, o que é natural, pois, nunca tinham trabalhado com o Geogebra. Será distribuído os papeis para realizar as atividades.

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Compreender a raiz de um polinômio e;

Descobrir realizações por intermédio de investigações por meio do Geogebra.

A metodologia que utilizaremos para cumprir tais objetivos é o de Ensino de Matemática via Tecnologia de Informação e Comunicação.

Os procedimentos serão divididos em 4 momentos: A primeira centrará no elemento motivação. A segunda consiste no elemento de modernização. O terceiro sobre elemento de facilitação e o último dos elementos de mudança. Para analisarmos se os objetivos propostos inicialmente foram cumpridos, os alunos irão passar por uma avaliação descrita abaixo. Durante esta atividade o aluno é levado a um processo de exploração, juntamente com a procura da sua explicação e concretização.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 3º ano do ensino médio

Recursos necessários: Laboratório munido de um computador por duplas, internet, data-show, quadro e giz/ pincel.

Materiais: 8 folhas A4.

Método: A utilização TIC na Educação Matemática, com os objetivos atitudinais citados por Ramos Brandão (s/d), como citado anteriormente.

Introdução: Duração: (15 minutos).

Para dar inicio a esta aula, separamos os alunos em grupos de 2 ou 3 estudantes, a partir daí explicaremos sobre o funcionamento do software Geogebra, depois permitiremos que os alunos o explorem. Neste momento, alguns alunos poderão solicitar bastante o auxilio do professor, pois não estão habituados a realizar este tipo de atividade e, também porque terão algumas dúvidas sobre o software, o que é natural, pois, nunca tinham trabalhado com o Geogebra. Será distribuído os papeis para realizar as atividades.

Objetivos: Compreender raiz de um polinômio e; Descobrir realizações por intermédio de investigações por meio do Geogebra;

Conteúdo: Raiz de um polinômio.

Procedimentos: Duração total: (40 minutos).

(5 minutos) Elemento de motivação para aumentar o interesse dos alunos pela aula. Neste momento trazermos figuras de 3 dimensões, como uma esfera, cubo, cônica e etc., e com estas figuras estugá-los a encontrarem curvas que constituem as mesmas.

(5 minutos) Elemento de modernização, por fazer parte dos diversos âmbitos da sociedade. A modernização para a vida do aluno será a apresentação formal do Geogebra, apesar de que os computadores já faz parte do cotidiano de diversos alunos, mas pode ser que este software ainda não esteja.

(20 minutos) Elemento de facilitação: para realizar tarefas que podem ser feitas manualmente, como a construção de gráficos, aqui o software facilitará na visualização. Após uma aula expositiva sobre a função afim e suas propriedades seguindo-se da resolução de problemas e exercícios para consolidar a matéria, os alunos desenvolveram uma primeira atividade no Geogebra. Que serão distribuídos papéis para as atividades dos grupos, cujo objetivo principal consistiu em explorar o conceito de polinômios e suas raízes.

    Exemplos das funções polinomiais para que a parti daí possa observar se a função possui raiz, que serão trabalhadas na atividade: f(x)= xº+2; g(x)= x ; h(x)= πx+1 ; p(x)=  x² ; q(x)= x²+1 ; r(x)= x³ ; s(x)= 3x³+3; t(x)= xª , onde a = 4 ; u(x)= 4xª+2, onde a = 4.

(10 minutos) Elemento de mudança: Com esta atividade pretende-se que o aluno compreenda a importância dos parâmetros m e b da função polinomial e, por sua vez, que consiga entender o sentido da variação da função e conseguindo relaciona as raízes com o grau do polinômio. Assim, os alunos estudaram a influencia de m e b na representação gráfica de y = m xª + b, onde trabalharemos com a (o grau do polinômio) variando de 0 a 4 e sendo m e b números reais. Podendo concluir que o número máximo de raízes reais do polinômio não nulo com grau a é a.  Se m=0, a função e constante e o seu gráfico e uma reta horizontal. Relativamente ao parâmetro b da função foi possível observar que a sua alteração correspondia à alteração do valor da ordenada quando a abscissa e zero.

Avaliação: Duração: (5 minutos).

Os aspetos a serem avaliados serão a capacidade de comunicação, no sentido em que os alunos deverão comunicar conceitos, raciocínios e ideias oralmente e por escrito, com clareza e rigor lógico, interpretar textos de matemática relativamente ao vocabulário especifico, assim como, apresentar textos de forma e organizada.

Para avaliar este aspecto, será solicitada aos alunos a entrega de um relatório da atividade num ficheiro Word que no final da aula foi enviado ao professor via e-mail. Daí que o trabalho tenha sido elaborado em grupo, para permitir a comunicação, interação, discussão e argumentação da atividade em desenvolvimento, tornando a aprendizagem mais enriquecedora querem para o aluno quer para o professor.

Conclusão: 

Durante esta atividade o aluno e levado a um processo de exploração juntamente com a procura da sua explicação e concretização da mesma pela elaboração de um relatório final, que enviou ao professor no final da aula.

Referência bibliográfica

CARNEIRO, Reginaldo Fernando.; PASSOS, Cármen L. B. A utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação nas aulas de Matemática: Limites e possibilidades. In: REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO, v. 8, n. 2, p. 101-119, 2014.

Identificação

Tema	Medidas de dispersão: Desvio-Padrão
Prof.		Vilmar Costa Silva
e-mail	vilmar.mat@outlook.com
Curso	Licenciatura em Matemática
	Universidade Federal de Mato Grosso

Considerações prévias: Para dar início a esta aula, será necessário explicarmos o funcionamento dela, detalhando os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos. Em seguida será distribuída uma folha A4 para a realização da atividade

Nesta aula, teremos como objetivos particulares:

Compreender o desvio-padrão;

Estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado e;

Interpretar problemas matemáticos

A metodologia que utilizaremos para ministrar esta aula é o de Ensino de Matemática via resolução de problemas, em 4 etapas – como descritas anteriormente.

Número de participantes: 8

Carga horária: 1 hora

Público alvo: 3º ano do ensino médio.

Recursos necessários: Um computador com o programa de Editor Microsoft Office Excel, data-show, quadro e giz/ pincel.

Materiais: 8 folhas A4.

Método: No contexto da resolução de problemas tenta-se resolver um problema proposto, o discente a partir de seus conhecimentos prévios organizados estratégias para a resolução deste problema, dessa forma, durante esse processo o discente percebe a importância de buscar novas ferramentas ou informações para resolver o problema. Isto instiga a troca de ideias e a significação de informações. Em suma, o objetivo da resolução de problemas consiste em fazer o aluno pensar, desenvolver o raciocínio, ensinar á ele enfrentar situações novas, tornar a aula mais interessante e desafiadora, dar equipamentos para a solução do problema e uma explicação do embasamento matemático. Assim, durante este desenvolvimento há alguns passos.

No primeiro, tem-se um problema e sua compreensão seja de palavras, símbolos ou linguagem. Em segundo urge um plano de como vai ser os procedimento para resolver este problema, ou seja, para atingir a meta alcançada. No terceiro passo é dada a execução das estratégias traçadas no plano e por final uma revisão de todo o caminho percorrido que tem como intuito averiguar a eficácia das estratégias utilizadas, esta etapa na verdade serve para correção de possíveis erros.                                          

Portanto, o professor deve manter o foco para os objetivos que deseja alcançar para que o procedimento e os elementos utilizados sejam suficientes para a busca da solução do problema. E para garantir o desenvolvimento da autonomia frente às situações problemas é preciso que o aluno diante do problema dado, levante hipóteses e as analise de forma que seja enfatizado o conhecimento.

Introdução: Duração: (5 minutos)

Neste tempo é reservado para o professor explicitar o método de trabalho para a aula, os objetivos, os conteúdos e os recursos que serão utilizados pelos alunos.

Objetivos: Compreender o desvio-padrão; Estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado; Interpretar problemas matemáticos.

Conteúdo: Medidas de dispersão: Desvio-Padrão

Desenvolvimento: Duração: (50 minutos)

 Este tempo será utilizado para o professor anunciar a situação problema e para resoluções do problema proposto, conforme as etapas sugeridas.

Situação-Problema:

Em uma turma de aluno, verificaram-se através da análise das notas de 15 alunos, os seguintes desempenhos em conceitos da prova de matemática no período bimestral são respectivamente, aluno 1 com nota 4,3; 2 com nota 4,5; 3 com 9; 4 com 6; 5 com 8; 6 com nota 6,7; 7 com 7,5; 8 com 10; 9 com 7,5; aluno 10 com nota 6,3; 11 com 8; 12 com 5,5; 13 com 9,7; aluno 14 com nota 9,3 e aluno 15 com nota 7,5.

Observando os dados desta turma, qual a estimativa da média das provas e do desvio-padrão? Qual é o intervalo que a maioria das notas se concentrou?    

                            

Procedimentos metodológicos:

1ª Etapa:

Compreensão do problema

 O que é solicitado? Os valores da média, desvio-padrão e intervalo que a maioria das notas se concentra. Quais são as condições? Desempenhos de 15 alunos seguidos de seus conceitos na prova de matemática bimestral são, aluno 1 com nota 4,3; 2 com nota 4,5; 3 com 9; 4 com 6; 5 com 8; 6 com nota 6,7; 7 com 7,5; 8 com 10; 9 com 7,5; aluno 10 com nota 6,3; 11 com 8; 12 com 5,5; 13 com 9,7; aluno 14 com nota 9,3 e aluno 15 com nota 7,5. É possível satisfazer as condições e elas são suficientes ou não para determinar a solução? Sim. Faltam dados? Não.

2ª Etapa

·         Construção de uma estratégia de resolução

  Após a descoberta dos dados e das relações obtidas, o professor volta estimular o estudante a buscar conexões entre os dados e o que é solicitado, instigando. Esta etapa é o momento do estudante desenvolver um plano para descobrir o melhor percurso (ter encontrado a estimativa dos valores pedidos) e pensar na estratégia para execução do plano. Em seguida, peça aos alunos que façam uma representação dos dados em uma tabela de duas colunas, uma com alunos e outra com as notas. Finalizada a discussão, o novo problema a ser resolvido é: Qual a estimativa da média das provas e do desvio-padrão? Para concluímos qual é o intervalo que a maioria das notas se concentrou?

O professor deve fazer os estudantes refletirem sobre como utilizar os conceitos de média e desvio-padrão já ensinado em sala.

3ª Etapa

·         Execução de uma estratégia escolhida

Após ter o plano em mãos, observaremos as concepções dos alunos frente à demonstração esboçaremos uma reflexão de resolução.

    Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:

    O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.

Onde o somatório dos valores das diferenças das notas pela média ao quadrado,  Xi é o valor de uma das notas, X é a média entre as notas e n é o total de amostra neste caso são 15 alunos.

Assim calcularemos o valor da média das notas, somando as notas e dividindo o resultado por 15 o número de notas.

4,3 + 4,5 + 9 + 6 + 8 + 6,7 + 7,5 + 10 + 7,5 + 6,3 + 8 + 5,5 + 9,7 + 9,3 + 7,5 = 109.8/15 = 7,32. Portanto o valor da média é 7,32.

Agora faremos as somas da diferença da nota pela média ao quadrado

(4,3-7,32)² + (4,5-7,32) ² + (90-7,32) ² + (6-7,32) ² + (8-7,32) ² + (6,7-7,32) ² + (7,5-7,32) ² + (10-7,32) ² + (7,5-7,32) ² + (6,3-7,32) ² + (8-7,32) ²  + (5,5-7,32) ² + (9,7-7,32) ² + (9,3-7,32) ² + (7,5-7,32) ²  =  44.164. Dividindo por (n-1) = 14, obtemos 3,15457143 e a raiz quadrada é o desvio-padrão que é aproximadamente 1,77.

Logo com este valor do desvio-padrão é com a média podemos estimular que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55. Pois 7,32 + 1,77 = 9,09  e 7,32 -1,77 = 5,55.

Assim, juntamente com os alunos, chega-se numa forma conceitual de resolver o problema proposto pelo experimento em discussão, usando as formulas e conceitos de média e desvio-padrão como alicerce. 

4ª Etapa

·         Revisão da solução

O momento de fazer um teste prático, neste caso o professor irá utilizar o programa Editor Microsoft Office Excel em seu computador para concluir de fato se estes valores correspondentes à resposta adequada.

Avaliação: Observar o envolvimento dos alunos, de forma individual e coletivamente, isto referente às atividades solicitadas, analisando o trabalho executado, comparar esse resultado com outros e, ainda, tentar prever o potencial de crescimento de cada estudante. Motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização.

Conclusão: Duração: (5 minutos)

Este tempo está destinado, para uma breve revisão do que foi aprendido através do problema, e se foi alcançado tais objetivos.

Referências bibliográficas

A resolução de problemas nas aulas de matemática: diagnosticando a prática pedagógica. Disponivel em: < http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/setembro2012/matematica_artigos/artigo_rodrigues_magalhaes.pdf>. Acessado em: 18/03/2016.

Pozo, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas – Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: ArtMed, 1998.